牛津哥大聯手破解兩千年素數謎題！受陶哲軒啟發，意外解法打破千禧年僵局

2000多年的素數問題，被牛津和哥大的數學家找到了新進展！在這個很難有進展的領域，他們取得了意外的突破。更神奇的是，證明過程背後竟然隱藏著一個令人拍案叫絕的新想法。

2000多年的素數問題，剛剛迎來了新進展！

牛津大學的本·格林和哥倫比亞大學的梅塔布·索尼發現了，如何從所有素數花園中挑選出特定形式的素數。

素數，屬於數論中最基本的問題之一。

而為了取得進展，這次兩位數學家轉向了一個不太可能的來源，從而做出了新的證明。

這項證明，使得數學家距離理解這些「算術原子」的隱藏順序，又更近了一步。

2000多年的素數問題

素數（只能被自身和1整除的數字），是數學中最基本的組成部分。

乍一看，它們似乎隨機分佈在數軸上，但實際上，它們完全不是隨機的。

數學家們花了幾個世紀的時間，試圖解開這些模式。如果能更好地理解素數，將照亮數學宇宙的廣闊領域。

雖然數學家可以依靠公式，大致理解素數的位置，但卻無法精準定位它們。因此，他們不得不採取更間接的方法。

西元前300年左右，歐幾里得證明：素數有無限多個。

此後，數學家們以歐幾里德定理為基礎，再次證明，滿足特定條件的素數有無限多個。

例如：是否存在無限多個不包含數字7的素數？

隨著時間的推移，透過證明在這些越來越嚴格的限制條件下仍然存在無限多個素數，數學家們得以更深入地理解素數的分佈規律。

然而，想要直接給出證明，卻很困難。

不過現在，Ben Green和Mehtaab Sawhney已經針對一種極有挑戰性的素數類型，成功地給出了證明。

一個試探性的集合

數學家往往會研究那些既足夠複雜以引發興趣，又足夠簡單以便取得進展的素數族群。

例如，他們可能會嘗試證明「間隔為500個單位的素數有無限多個」，或者通過將其他數的平方相加，來構造出無窮多個素數。

這個一個條件非常有用，指導了幾個世紀的數學進步。

1640年，數學家費馬猜想，將兩個整數的平方相加，可以得到無數個素數。 （例如，素數13可以寫成2^2+3^2 。

後來，這猜想被歐拉證明。

不過，如果把這個問題稍微改一下，例如要求其中一個平方根必須是奇數或完全平方數，那麼問題就會變得格外困難。

如Green所說，對集合的限制越多，在其中找到素數就越困難。

在19世紀，對此類陳述的研究，直接導致了許多現代數論的發展。

在20世紀，它啟發了迄今最雄心勃勃的數學研究之一— 朗蘭茲計畫（Langlands program）。

進入21世紀後，對此類素數的研究也不斷產生新的成果。

卓有成效的牛津周

2018年，羅格斯大學的Friedlander和Henryk Iwaniec提出這樣一個問題：是否存在無限多個p^2+4q^2形式的素數，其中p和q也必須是素數？ （例如，41=5^2+4× 2^2。）

事實證明，處理這類條件格外有挑戰性。

但是，如果數學家們突破這一挑戰，他們就將成功地對素數施以前所未有的控制——這正是他們一直以來的期望。

先前，Green和Sawhney都沒有玩過這類的素數計算遊戲，但他們都有研究素數引起的奇怪模式的經驗。

七月，兩位數學家在愛丁堡的會議上會面。

剛讀完研究的Sawhney，我一直很欣賞Green。他表示，正是Green 20年前證明的一項開創性成果，讓自己踏入這個領域。 Green也對Sawhney印象深刻。

兩人決定合作，最終，他們確定了方向：Friedlander和Iwaniec的猜想。

Green邀請Sawhney來牛津待一周。這是因為，為了證明類似的猜想，數學家通常會依賴一套特定的計數技術。

但是，由於問題中的素數定義非常嚴格，Green和Sawhney找不到一個方法，讓傳統的工具包發揮作用。

怎麼辦？

兩人決定，採用更迂迴的方式來證明這個猜想──用一種類似數學下棋的方式。

但首先，他們必須證明，自己有資格走這一步棋。

花了一段時間後，兩人確信：這一點可以做到，因此他們能夠證明這個猜想。

嘗試另外一個集合

既然無法直接計算兩個素數平方後相加得到素數的數量，那如果稍微放寬一下條件呢？

他們意識到，可以解決一個略微弱化的問題──被平方的數字只需要「近似」於素數即可。

「粗略素數」比真正的素數容易找到許多。

例如，如果要數出1到200之間的粗略素數，可以先考慮一些最小的素數，如2、3、5和7。

然後，列出所有不能被這些素數整除的數字。這些數字就是粗略素數。

在這個例子中，你會發現共有50個粗素數，其中有46個是真正的素數，而剩下的四個（121、143、169 和187）則不是。

由於粗略素數的分佈比素數的分佈規律性更強，因此處理起來要容易得多。

Green和Sawhney成功證明，將兩個粗略素數的平方相加，就可得到無限多個素數。

接下來他們只需證明，這個結論能夠推匯出他們真正想要的問題：存在無限多個素數，可以表示為兩個素數的平方和。

Tamar Ziegler在素數方面的開創性工作，使研究人員能夠將「高爾斯范數」（Gowers norm）移植到一個新領域

但這並不顯而易見。他們必須針對每個版本的問題分析一組特殊的函數，稱為I型和II型和，然後證明無論使用那種約束，這些和都是等價的。

只有如此，Green和Sawhney才能確保他們可以將粗略的質數代入證明中，而不會失去資訊。

他們很快就意識到：他們可以利用一種工具來證明這些和式是等價的，而這種工具是他們在之前的工作中都遇到的。

這種工具被稱為Gowers范數，幾十年前由數學家Timothy Gowers開發，用於測量一個函數或一組數字的隨機性或結構性。

表面上看，Gowers范數似乎屬於完全不同的數學領域。 「作為局外人，幾乎無法看出這些東西之間的關聯，」Sawhney說。

但透過利用2018年數學家陶哲軒和Tamar Ziegler證明的一個里程碑結果，Green和Sawhney找到了將Gowers范數與I型和II型和式聯絡起來的方法。

本質上，他們需要使用Gowers范數來證明他們的兩組質數——一組是使用粗略質數建構的，另一組是使用真實質數建構的——足夠相似。

結果證明，Sawhney知道如何做到這一點。

今年早些時候，為瞭解決一個無關的問題，他開發了一種使用Gowers范數比較集合的技術。

令他驚訝的是，這種技術恰好足夠用來證明這兩組集合具有相同的I型和II型和式。

通過這個成果，Green和Sawhney證明了Friedlander和Iwaniec的猜想：存在無限多個質數可以表示為p^2+4q^2的形式。

最終，他們還將這一結果推廣，證明了其他類型的家族也存在無限多個質數。

這一成果在一個通常進展極為罕見的領域中，標誌著一個重要的突破。

更重要的是，這項工作表明，Gowers范數可以在一個新的領域中作為一個強大的工具。

現在，數學家們希望進一步拓展Gowers范數的應用範圍，並嘗試用它來解決數論中除質數計數以外的其他問題。

「看到我曾經思考過的一些東西有了意想不到的新應用，對我來說非常有趣，」Ziegler說。 「這就像父母看著孩子成長，自由發展，做出一些神秘又出乎意料的事情。」

參考資料：

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/ （新智元）