韋東奕論文登數學頂刊，將散焦方程的爆破性研究擴展至d≥4

韋東奕論文再登數學頂刊！

就在備受關注之際，韋神本韋和另兩位北大學者章志飛、邵鋒合作的一篇論文已發表於數學界頂級期刊《Forum of Mathematics, Pi（數學論壇，π） 》。

論文題目為《On blow-up for the supercritical defocusing nonlinear wave equation（超臨界散焦非線性波動方程的爆破現象研究）》，通俗來說就是研究某些方程的解在什麼條件下會“爆炸”失控。

而經過一系列論證，他們最終發現對於d=4且p≥29，以及d≥5且p≥17的情況，存在一個在有限時間內爆破的光滑復值解。

不清楚具體研究內容不要緊，重要的是這一成果不僅填補了相關空白，而且其證明方法繞過了傳統方法中奇點處理的難點，理論上可推廣到其他非線性偏微分方程的爆破研究。

網友們的反應一致be like：

字都認識，但是看不懂一點（doge）。

實際上，據清華大學丘成桐數學科學中心網站介紹，韋東奕還在今年5月以主講人的身份做了這篇論文的報告。

下面具體來看這項研究講了啥？

將散焦方程的爆破性研究擴展至d≥4

從論文摘要入手，該研究探討了在ℝ×ℝd上，以下散焦非線性波動方程：

1）在“超臨界”狀態下是否會在有限時間內爆破？

2）如果存在，爆破的速度和機制是什麼？

正如水波、電磁波等波動現象能用方程來描述，“非線性波動方程”是指一類描述複雜波動的數學方程。

而這裡的“散焦”意味著波的能量向外擴散。

那麼，為什麼要關注該方程在“超臨界”狀態下的情況呢？

原因主要在於，此前研究已解決“亞臨界”、“臨界”情況的全域正則性（解永遠存在且光滑），但超臨界散焦方程的爆破性研究很少，尤其在空間維度d≥4的低維情形幾乎空白。

而通常來說，當方程處於“超臨界”狀態時，波的能量分佈更難控制，更可能出現“爆破”現象（即解在有限時間內變得無窮大）。

所以，韋東奕等人想要論證：

在d≥4的低維情形下，散焦非線性波動方程存在有限時間爆破解。

這裡要補充一下，方程的“臨界性”由空間維度d和指數p決定。幾種狀態的定義如下：

其中“超臨界”狀態具體指sc >1，即當且僅當d≥3，有p>1+4/（d-2）。

最終，他們得出了兩項核心結論：

• 當d=4且p≥29，以及d≥5且p≥17的情況時，存在光滑的初始波形，使得方程的解在有限時間內爆破。
• 波的最大振幅隨時間接近爆破時間時，爆破速度比臨界范數的增長更快，說明爆破不可避免。

具體論證方法則結合了三人組之前關於“相對論歐拉方程自相似內爆解”的一項研究。

這篇名為《Self-similar imploding solutions of the relativistic Euler equations》的論文核心圍繞相對論歐拉方程展開，這是一個描述理想流體（比如氣體）在相對論速度下行為的數學模型。

團隊研究了這些方程的一種特殊解，叫做“自相似內爆解”，即流體在有限時間內會集中到一個點，就像內爆一樣。

他們發現，在特定的條件下（比如在2維或3維空間中，或在更高維度中但條件稍微寬鬆一些），這種內爆解是存在的。

這個發現對於理解更複雜的波動方程（比如描述聲波或光波的方程）在特定條件下是否會在有限時間內“爆炸”（即變得無限大）非常重要。

換言之，我們能更好地理解在極端條件下，物質和能量的行為方式。

回到正題，在後來登上頂刊的這項研究中，他們正是將相對論歐拉方程的“自相似解”（形狀不變、僅縮放的解）作為爆破解的“骨架”，結合其他技術繞過了傳統方法中奇點處理的難點。

最終為理解散焦方程的動力學行為提供了新視角，並且其方法可推廣到其他非線性偏微分方程的爆破研究。

通俗理解，其具體論證過程可分為以下五個步驟：

第一步：模相位分解。就像把光分解成振幅和相位一樣，他們將波也拆成“幅度”和“相位”兩個零件，以便單獨研究那個零件導致了“爆破”。

第二步：自相似解假設。一般炸彈爆炸時，不同時間點的“爆炸形態”其實很像，只是“縮放了大小”，故他們也假設波的爆破也有這種“自相似”，以便後續計算。

第三步：構造近似解。繼續用簡單的數學公式拼出一個“假波”，模仿爆破的趨勢。

第四步：反向時間求解精確解。從“爆炸結局”往回推，慢慢修正成精確解，以證明真的存在這樣一個波，會在特定時刻爆炸。

第五步：推論的證明。通過前面四步，已經找到“會爆炸的波”的精確解，現在要驗證它的 “爆炸速度”。而通過計算，他們發現爆炸“剎不住車”，必然會發生。

更專業的論證過程指路原論文第二章節。

曾以唯一作者身份登上數學頂刊

這項研究的其他兩位作者分別為章志飛和邵峰。

章志飛，博士畢業於浙江大學，目前為北大數學科學學院博雅特聘教授、副院長和博士生導師。

主要從事偏微分方程領域的研究，已在Invent Math、CPAM、Memoirs AMS等頂尖數學刊物上發表論文150余篇，獲得過國家“傑青”和陳省身數學獎等榮譽。

他和韋東奕合作多年，2022年曾作為團隊代表在國際數學家大會上做了45分鐘的報告。

邵峰，本科畢業於中國科學技術大學，目前是北大基礎數學專業四年級博士生。

章志飛和韋東奕為邵峰的共同導師，三人多次合發論文。

事實上除了合著，韋東奕的個人研究也曾登上數學頂刊。

就在2021年，《Science China - Mathematics》刊載了他的一篇論文“通過預解估計流體流動中的擴散和混合”。 (量子位)